الجبر الخطي الأمثلة

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

خطوة 1

أضف $16 x^{2}$ و $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 25$ و $b = - 100$ و $c = 48 x^{2} - 284$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 100$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.4

اضرب $48$ في $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 100$ في $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.6

أضف $10000$ و $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2} + 38400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $4800$ من $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.7.3

أخرِج العامل $4800$ من $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.8

أعِد كتابة $4800 (- x^{2} + 8)$ بالصيغة $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.8.1

أخرِج العامل $1600$ من $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.8.2

أعِد كتابة $1600$ بالصيغة $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

خطوة 4.3

بسّط $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 100$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.4

اضرب $48$ في $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.5

اضرب $- 100$ في $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.6

أضف $10000$ و $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.7

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2} + 38400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.7.2

أخرِج العامل $4800$ من $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.7.3

أخرِج العامل $4800$ من $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.8

أعِد كتابة $4800 (- x^{2} + 8)$ بالصيغة $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.1

أخرِج العامل $1600$ من $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.8.2

أعِد كتابة $1600$ بالصيغة $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

خطوة 5.3

بسّط $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 5.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $2$ من $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

خطوة 6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $- 100$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.4

اضرب $48$ في $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.5

اضرب $- 100$ في $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.6

أضف $10000$ و $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.7

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2} + 38400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.7.1

أخرِج العامل $4800$ من $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.7.2

أخرِج العامل $4800$ من $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.7.3

أخرِج العامل $4800$ من $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.8

أعِد كتابة $4800 (- x^{2} + 8)$ بالصيغة $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.8.1

أخرِج العامل $1600$ من $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.8.2

أعِد كتابة $1600$ بالصيغة $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 6.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $2$ من $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

خطوة 7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

خطوة 8

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم كل حد في $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اقسِم كل حد في $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ على $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 9.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 9.1.2.1.2

اقسِم $- x^{2} + 8$ على $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

خطوة 9.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

خطوة 9.2

اطرح $8$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 8$

خطوة 9.3

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 8$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 8$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 9.3.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اقسِم $- 8$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

خطوة 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

خطوة 9.5

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{8}$

خطوة 9.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

بسّط $\sqrt{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

خطوة 9.5.2.1.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 9.5.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

خطوة 9.5.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

خطوة 9.6

اكتب $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 9.6.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

خطوة 9.6.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 9.6.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

خطوة 9.6.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 9.7

أوجِد التقاطع بين $x \leq 2 \sqrt{2}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

خطوة 9.8

أوجِد حل $- x \leq 2 \sqrt{2}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 2 \sqrt{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 2 \sqrt{2}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 9.8.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 9.8.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 9.8.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

خطوة 9.8.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ بالصيغة $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

خطوة 9.8.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

خطوة 9.8.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - 2 \sqrt{2}$ و $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

خطوة 9.9

أوجِد اتحاد الحلول.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

خطوة 10

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

خطوة 11